CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
“ Kỹ năng sử dụng phương pháp hệ số bất định trong giải Toán ở trường THCS”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Đối tượng: Áp dụng cho học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 trường THCS .
- Sáng kiến giúp học sinh giải quyết được các dạng bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử, tìm cực trị của biểu thức dạng phân thức, Tìm cực trị của biểu thức bậc 2 hai biến
và giải phương trình bậc 2 hai biến.
3. Mô tả các giải pháp cũ thường làm (Nêu rõ tình trạng và nhược điểm của giải pháp cũ)
a. Thực trạng của vấn đề để có giải pháp mới để giải quyết:
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống,
giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả. Thông qua
việc học toán, người học có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải
toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên, kỹ thuật.
Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế môn toán có vai
trò đặc biệt quan trọng trong trường phổ thông.
Thời tôi là học sinh phổ thông, tôi và chúng bạn nói với nhau rằng tại sao mà thầy, cô
giáo lại nghĩ ra cách giải đó. Bây giờ tôi đã là thầy giáo dạy toán, tôi lại bắt gặp những ánh
mắt ấy từ học trò của mình. Đối với đa số các em học sinh, đặc biệt là học sinh THCS, các
em chưa hiểu tại sao nghĩ ra được lời giải đó, hay cho rằng đó là những lời giải không đẹp,
thiếu tự nhiên mà giải mò mẫm thì không định hướng được, biến đổi phức tạp. Trong quá
trình dạy học, tôi thường nhắc nhỡ học sinh của mình khi gặp một dạng bài toán thì điều
quan trọng là “nhận ra đâu là kỹ năng, kĩ thuật chính, qua đó giải thích được vì sao lại như
vậy và cao hơn cả là vì sao lại nghĩ ra lời giải bài toán đó”.

Vậy với sự đam mê học toán và sự tâm huyết với nghề tôi đã tích lũy và soạn ra sáng
kiến này, nhằm giúp học sinh của mình giải quyết triệt để các dạng bài tập tương tự và tìm
ra hướng giải quyết cho các dạng bài tập khác.
4. Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 9 năm 2021 đến nay.
5. Nội dung:
5.1. Mô tả giải pháp mới hoặc cải tiến (Nêu rõ, chi tiết và đầy đủ các bước thực hiện giải
pháp mới hoặc cải tiến và có thể minh họa bằng các bản vẽ, thiết kế, sơ đồ, ảnh chụp mẫu
sản phẩm, đĩa, bảng biểu…)
Giải bài tập toán là quá trình suy luận logic nhằm tìm mối liên hệ giữa cái đã cho (giả
thiết bài toán) và cái phải tìm (kết luận bài toán). Nhưng các quy tắc suy luận cũng như kỹ
năng giải quyết của học sinh còn nhiều lúng túng, nhiều học sinh giải bài toán này được
nhưng chưa nắm được bản chất của bài toán hoặc đã nắm được bản chất nhưng thiếu kỹ
năng trong việc giải quyết vấn đề.
a. Định lí 1:
a) Nếu đa thức bằng 0 với mọi giá trị của các biến thì hệ số của các hạng tử đều bằng 0
Nếu đa thức f(x) = anxn +an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 = 0 với mọi x thì ai = 0
(với i = 0;1;2;3;... n)
b) Nếu hai đa thức cùng bậc mà hằng đẳng với nhau với mọi giá trị của các biến thì hệ số
của các hạng tử đồng dạng bằng nhau.
Cho hai đa thức: f(x) = an xn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 và g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ....+ b1x + b0
Nếu f(x) = g(x) thì ai = bi ( i = 0;1;2;3;.....n )
b. Định lý 2 :
a) Định lý: Nếu đa thức f(x) chia cho nhị thức ( x - a ) có số dư r thì r = f(a)
b) Hệ quả: Nếu đa thức f(x) chia hết cho ( x - a) thì f(a) = 0
Từ hệ quả ta suy ra nếu đa thức f(x) chia hết cho (x - a) thì khi phân tích đa thức
f(x) thành nhân tử thì có chứa thừa số là (x - a). Điều này có nghĩa f(x) ( x - a)
thì f(x) = (x - a ) .q(x)
Giải pháp:

2

Tính mới :
a. Phương pháp hệ số bất định trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x3–7x – 6
Hướng dẫn cách 1:
Nhận thấy x = –1 là một nghiệm của đa thức nên theo hệ quả của định lý 2 (BơZu) khi phân
tích có chứa nhân tử (x + 1).
Ta sử dụng phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử, ta tiến hành như sau:
x3–7x – 6 = x3 + x2 – x2 – x – 6x – 6 = x2(x + 1) – x(x + 1) – 6(x + 1)
= (x + 1)(x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3).
Hướng dẫn cách 2:
Nếu ta sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta tiến hành như sau:
x3 – 7x – 6 = (x + 1)(x2 + ax + b) = x3 + (a + 1)x2 + (a + b)x + b

Ta có hệ sau:
Do đó: x3 – 7x – 6 = (x + 1)(x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3).
* Nhận xét: Dễ thấy rằng đối với bài toán này cách 2 không tối ưu hơn cách 1.
Bây giờ ta xét tiếp ví dụ sau đây
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4x4 + 81 thành nhân tử
* Nhận xét: Ta thấy 4x4 +81 81,

do đó đa thức 4x4 +81 vô nghiệm. Ta không thể

sử dụng hệ quả của định lý 2 (BơZu), chúng ta cũng khó khăn trong phương pháp thêm và
bớt cùng một hạng tử. Như vậy nếu phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng:
+ax + b)( 2x2 +cx + d).
Hướng dẫn:
Ta có: 4x4 +81 = (2x2 +ax + b)( 2x2 +cx + d)
= 4x4 +2(a + c)x3 +(ac + 2b + 2d)x2 +(ad + bc)x + bd

3

(2x2

Do đó: 4x4 +81 = (2x2 + 6x + 9)( 2x2 – 6x + 9).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3
* Nhận xét: Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 3 đối với tập
hợp các biến a, b, c, hơn nữa các biến a, b, c có vai trò như nhau trong đa thức. Nếu
a = -b hoặc b = -c hoặc c = - a thì đa thức có giá trị bằng 0. Vì vậy khi phân tích đa thức
trên thành nhân tử thì có chứa các thừa số a + b; b+ c; c + a
Hướng dẫn:
Ta có ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = k(a + b) (a + c)(b + c)
Lấy a = b = c = 1 thì 8k = 24  k = 3
Vậy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b) (a + c)(b + c)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2
* Nhận xét: Vì M là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến x và y nên M chỉ có thể
viết dưới dạng

M = (x + ay + b)(x + my + n)

Hướng dẫn: Ta có: M = (x + ay + b)(x + my + n)
= x2 + (m + a)xy + amy2 + (n + b)x + (na + bm)y + bn

Vậy : M = x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2 = (x - y - 1)(x - 4y + 2).
Ví dụ 5: Tìm số nguyên a sao cho (x - a)(x - 1999 ) + 3 được phân tích thành tích của hai
đa thức bậc nhất với hệ số nguyên.
Hướng dẫn:
Theo bài ra ta có (x - a)(x - 1999 ) + 3 = (x - m)(x - n),
4

m ,n  Z

Thay x = m thì (m - a)(m - 1999 ) + 3 = 0

(m - a)(m - 1999 ) = - 3

Với a = 1995, cho nên (x - 1995)(x - 1999 ) + 3 = ( x - 1998)(x - 1996)
Với a = 2003, cho nên (x - 2003)(x - 1999 ) + 3 = (x - 2000)(x - 2002)
Vậy a = 1995 ; 2003
b. Phương pháp hệ số bất định trong bài toán cực trị:
Xét biểu thức là phân thức dạng:

, trong đó B(x) hoặc là nhị thức bậc nhất

hoặc là tam thức bậc hai và tam thức bậc hai: ax2 + bx + c > 0, với x thuộc tập xác định
Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
Hướng dẫn cách 1:
Để tìm GTNN, ta viết A đưới dạng:

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = 2
Vậy min A = - 1, tại x = 2.
Để tìm GTLN, ta viết A dưới dạng:

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x =
Vậy max A = 4, tại x =

.

* Nhận xét 1: Lời giải trên tuy gọn, song viết biểu thức A dưới các dạng trên có phần
thiếu tự nhiên, áp đặt cho người đọc. Trong trường hợp có mẫu là đa thức bậc hai và tử là
đa thức có bậc không quá hai, ta có một phương pháp khác xác định GTNN, GTLN của

5

biểu thức (nếu có). Đó là phương pháp tìm miền giá trị của hàm số, nhưng phương pháp này
chỉ dành cho học sinh lớp 9.
Song nếu người học và làm toán để ý biểu thức A là phân thức dạng
trong đó: a 0 và ax2 + bx + c > 0,

,

x thoả điều kiện hoặc

ax2 + bx + c < 0, x thoả điều kiện, còn trên tử B(x) là đa thức bậc nhất hoặc bâc hai. Khi
đó :
- Nếu A tồn tại GTNN thì A được viết dưới dạng :

(1)

- Nếu A tồn tại GTLN thì A được viết dưới dạng :

(2)

Khi ta thực hiện phương pháp hệ số bất định ta luôn tìm được a', b' và m trong (1)
hoặc a', b', và M trong (2)
Ở Ví dụ 1 : Tìm GTNN và GTLN của
Hướng dẫn cách 2:
Đồng nhất biểu thức A, ta được 

Do đó :

min A = - 1, tại x = 2.

Và

6

Do đó:

max A = 4, tại x =

.

Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của
* Nhận xét: Đối với biểu thức B ta sử dụng cách 1 để giải ít nhiều gây ra khó khăn. Do đó
ta nên dùng phương pháp “tìm miền giá trị” hoặc phương pháp “hệ số bất định”
Hướng dẫn: Ta có x2 + x + 1 > 0,

x.

Để tìm GTNN biểu thức B ta đồng nhất thức

Do đó:

min B = , khi x = 1.

Để tìm GTLN biểu thức B ta đồng nhất thức

Do đó:

max B = 3, khi x = -1.

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x
Ta có x2 – 2x +1 = (x – 1)2 > 0,
7

Đồng nhất thức biểu thức C sau để tìm GTNN

Do đó:

, dấu bằng xảy ra khi x = – 2 (thoả ĐK)

Vậy min C = 2, tại x = – 2.
Ví dụ 4: Tìm m để biểu thức

có GTNN bằng 1.

Hướng dẫn: Ta có:
x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 +1 > 0,

x.

P nhận 1 làm GTNN khi P được viết dưới dạng
Đồng nhất thức biểu thức P và sử dung phương pháp hệ số bất định, ta được

Thử lại:Với m = 3, khi đó

có GTNN là 1, tại x = 1.

Vậy m = 3.
* Nhận xét 2: Còn đối với biểu thức A dạng

, trong đó B(x) là một nhị thức

hoặc tam thức , ở mẫu tam thức ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt. Ta chỉ xét biểu thức
A có cấu trúc đặc biệt như các trường hợp sau.
Ví dụ 5: Tìm GTNN của

, với 0 < x < 1

Hưởng dẫn:
8

Đồng nhất A rồi sử dung phương pháp hệ số bất định

1 2
+
Do đó: A = x 1−x

Để áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta xét biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương

Dấu “=” xảy ra khi

và

, ta được

(I), giải hệ (I) ta được:

Bây giờ ta xét hiệu A – B =
A=3+B
Vậy min A =

A 3+
, khi

Ví dụ 6: Tìm GTNN của

, với 0 < x < 1

Hướng dẫn:
Đồng nhất thức biểu thức B rồi sử dụng phương pháp hệ số biên thiên

9

Do đó:
Dấu
“=” xảy ra khi:
Vậy min B =

(thỏa 0 < x < 1)
, khi

c. Phương pháp hệ số bất định trong biến đổi biểu thức bậc 2 hai biến x, y về dạng
tổng các bình phương:
Dạng tổng quát của biểu thức: Q = Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F

(II)

Ví dụ 1:
Tìm GTNN của biểu thức A = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2026
Hướng dẫn cách 1: Để giải bài toán trên ta biến đổi biểu thức A về dạng tổng của các bình
phương, trong đó ta thêm, bớt cùng một hạng tử, nhân, chia cùng một nhân tử khác 0, tách,
nhóm các hạng tử.
Mục đích nhằm sử dụng các hằng đẳng thức
Ta có: A = (x2 + 2xy + y2) + (x2 – 8x + 16) + 2010 = (x + y)2 + (x – 4)2 + 2010 2010
Đẳng thức xảy ra khi:
Vậy min A = 2010, khi x = 4 và y = – 4
* Nhận xét: Khi giải dạng bài toán này ta thấy GTNN và GTLN của biểu thức đạt tại một
điểm mà điểm đó là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
Do đó biểu thức Q của (II) được đồng nhất với biểu thức (ax + by + c)2 + (dx + e)2 + f. Rõ
ràng nếu biểu thức Q trong (II) tồn tại GTNN, GTLN mà ta sử dụng hệ số bất định luôn tìm
được các hệ số a, b, c, d, e, f.
Trở lại bài toán
Tìm GTNN của biểu thức A = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2026

10

Hướng dẫn cách 2: Nhận xét thêm rằng, biểu thức A khuyết hạng tử chứa biến “y” và hệ số
của hạng tử chứa y2 là 1. Do đó A đồng nhất biểu thức (ax + y)2 + (bx + c)2 + d, mục đích
để đơn giản trong các bước biến đổi đại số.
Ta có: A = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2026 = (ax + y)2 + (bx + c)2 + d
= (a2 + b2)x2 + y2 + 2axy + 2bcx + c2 + d
Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta được:

Do đó: A = (x + y)2 + (x – 4)2 + 2010 2010
Đẳng thức xảy ra khi:
Vậy min A = 2010, khi x = 4 và y = – 4
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 4x2 + 3y2 – 4xy – 4y + 2014
Hướng dẫn: Đa thức B khuyết hạng tử chứa biến ' x '.Do đó B đồng nhất với đa thức
(ax + by)2 + (cy + d)2 + e
Ta có: B = 4x2 + 3y2 – 4xy – 4y + 2014 = (ax + by)2 + (cy + d)2 + e
= a2x2 + (b2 + c2)y2 + 2abxy + 2cdy + d2 + e

Do đó:
Vậy min B = 2012, tại x =

,y=1

Ví dụ 3: Tìm x, y để biểu thức P đạt GTNN
P = 3x2 +11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1.

11

Hướng dẫn: Đây là biểu thức đầy đủ các biến
Ta có: P = 3x2 +11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1
= (ax + by + c)2 + (dx + e)2 + f
= (a2 + d2)x2 + b2y2 + 2abxy + 2(ac + de)x + 2bcy + c2 + e2 + f

Do đó:
Đẳng thức xảy ra khi:
Vậy

và

thì min P = – 2

Ví dụ 4: Giải phương trinh: x2 + 2y2 – 2xy +2x + 2 = 0 (4)
Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp hệ số biến thiên đa thức vế trái:
x2 + 2y2 – 2xy +2x + 2
= (ax + by)2 + (cx + d)2
= (a2 + c2)x2 + b2y + 2abxy + 2cdx + d2

12

Do đó: (4)
Giải hệ phương trình ta được: x = – 2; y = – 1.
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TRONG ĐỀ TÀI NÀY
Bài 1: Bằng phương pháp hệ số bất định hãy phân tích đa thức sau thàng nhân tử
2x2 – 11y2 – 21xy – x + 34y -3
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên
x2 + y2 – 5xy + x + 2y – 2
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 – y2 + 2x – 4y – 14 = 0
Bài 4: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức

.

Bài 5: Tìm GTNN, và GTLN của biểu thức
Bài 6: Tìm m để biểu thức

.

có GTLN bằng 2.

Bài 7: Tìm các số m, n để biểu thức
Bài 8: tìm GTNN của biểu thức

có GTNN bằng

và GTLN bằng 3.

, với 0 < x < 2.

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức:
P = 11x2 + 3y2 – 2xy + 6x – 2y + 2013
Bài 10: Tìm x, y sao cho các biểu thức sau đạt GTNN, tìm GTNN đó.
a) A = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 59
b) B = x2 + 5y2 – 4xy + 10x – 22y + 28.
* Kết quả của sáng kiến (Nêu số liệu cụ thể hoặc nêu những kết quả khác nếu không
thống kê được số liệu)
- Đã áp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường và cấp huyện. Cũng qua
sáng kiến này học sinh đã tiến bộ rõ rệt trong kĩ năng biến đổi đại số.
13

- Khả năng thay thế phương pháp thêm, bớt, tách nhóm các hạng tử trong các dạng bài
tập ở các dạng bài toán trong đề tài này là rất cao, đặc biệt là các dạng bài toán chứa tham
số.
- Áp dụng tốt cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.
* Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp (Tên, khối lượng, số lượng, thông số của sản
phẩm (nếu có))
+ 1 HS đạt giải nhất trong kì thi chọn HSG cấp huyện năm học 2021 – 2022.
+ Kết quả khảo sát đầu học kỳ II lớp 8: Tôi chọn ra 10 em học sinh khá giỏi lớp 8, đưa
ra các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, cực trị.
Kết quả như sau:
Tổng số

Tổng số HS đạt từ TB

Tổng số học sinh dưới

HS được

trở lên

trung bình

kiểm tra

SL

Tỉ lệ %

SL

Tỉ lệ %

10

1

10%

9

90%

Ghi chú

90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%

Trên Trung Bình

Dưới Trung bÌnh

+ Kết quả khảo sát sau khi tổ chức dạy thực nghiệm tại đơn vị trường (cũng đối với 10
học sinh trên)
Tổng số

Tổng số HS đạt từ TB

Tổng số học sinh dưới

HS được

trở lên

trung bình
14

Ghi chú

kiểm tra

SL

Tỉ lệ %

SL

Tỉ lệ %

10

8

80%

2

20%

80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%

Trên Trung Bình

Dưới Trung Bình

5.2. Khả năng áp dụng (phạm vi áp dụng) của sáng kiến (Nêu rõ về việc giải pháp
đã được áp dụng, kể cả áp dụng thử trong điều kiện kinh tế - kỹ thuật tại cơ sở; ngoài ra
nêu rõ giải pháp còn có khả năng áp dụng cho những đối tượng, cơ quan, tổ chức nào trên
địa bàn tỉnh):
- Vận dụng lý luận vào thực tiễn: Khai thác bản chất của dạng toán- sử dụng phương
pháp hệ số bất định.
- Sáng kiến kỹ năng sử dụng phương pháp hệ số bất định áp dụng dạy học toán ở cấp
THCS.
- Mục đích của sáng kiến là phục vụ cho công tác dạy học toán ở THCS, bồi dưỡng
cho học sinh giỏi và làm tài liệu cho học sinh học tập.
Cơ sở thực hành đối tượng học sinh lớp 8,9 trường THCS trong toàn Huyện Tuy An.
5.3. Đánh giá lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến (Đánh giá lợi ích thu được hoặc
dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp trong đơn kể cả áp dụng thử tại cơ sở theo
các nội dung sau:
- So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu được khi áp dụng giải pháp trong đơn so với
trường hợp không áp dụng giải pháp đó, hoặc so với những giải pháp tương tự đã biết ở cơ
sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu quả kinh tế, lợi ích xã hội cao hơn như thế nào hoặc
15

khắc phục được đến mức độ nào những nhược điểm của giải pháp đã biết trước đó - nếu là
giải pháp cải tiến giải pháp đã biết trước đó);
- Thể hiện rõ lợi ích cho người học cho việc hoàn thiện kĩ năng biến đổi đại số và cao
hơn là hoàn thiện kĩ năng nhận dạng bản chất của bài toán.
- Kĩ thuật cao, chất lượng tốt, ít xảy ra các vấn đề sai sót và có hiệu quả sử dụng.
- Tạo điều kiện học sinh thêm tự tin trong giải toán, thêm yêu mến bộ môn này. Hơn
nữa tự tin trong giải quyết các vấn đề của cuộc sống.
- Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục cụ thể là các kì thi học sinh giỏi do ngành
tổ chức.
* Cam kết: Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trên là trung thực, không sao chép và
không vi phạm quyền sở hữu trí tuệ.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

(Chữ ký, dấu)

(Chữ ký và họ tên)

Trương Duy Tín

16